ESPERANZA MATEMATICAS

En estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Por ejemplo, en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.
Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética



Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de masa p(xi) la esperanza se calcula como:










COMENTARIO:
LA ESPERANZA MATEMATICAS ES UN PROCESO QUE ESTUDIA Y QUE PERMITE COMPARAR DOS O MAS ELEMENTOS O ALTERNATIVAS QUE CONTIENE EL FENOMENO O ESTUDIO.

DIAGRAMA DE ARBOL

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?


N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B


A
N
F B A
B
AB
B
O A

B


COMENTARIO:
EL DIAGRAMA DE ARBOL TRATA DE RECOPILAR TODO ELEMENTO POSIBLE A DAR UN RESULTADO DEL PROCESO O ESTUDIO QUE SE ESTA REALIZANDO.

COMBINACION Y PERMUTACION.

COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.

Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).

COMENTARIO:
COMBINACION MAS QUE TODO EN ESE PROCESO ES EL ARREGLO DE LOS ELEMENTOS NO IMPORTANDO EL ORDEN Y EN PERMUTACION EN ESTE PROSESO SI IMPORTA EL ORDEN Y LUGAR DE LOS ELEMENTOS.

PROBABILIDAD.

La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

EJEMPLO 1: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3
Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da un numero de especifico de casos y solo nos pueden dar un numero especifico de resultados.


COMENTARIO:

LA PROBABILIDAD ESTUDIA, MIDE LA FRECUENCIA CON LA QUE APARECE UN DETERMINADO RESULTADO DE UN EXPERIMENTO QUE YA HA SIDO ESTUDIADO.

TEORIA DE CONTEO.

La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como lo son: la unión, la intersección, el complemento de un conjunto, etc.
.- Consideraremos a W como el conjunto universal el cual posee todos los elementos posibles, así el conjunto A es un subconjunto de W si todos los elementos de A son elementos de W, y se denota:
A Ì W si para todo x ÎA, x Î W
.- Sean A y B dos conjuntos cuales quiera entonces:
la unión se define como: C = A È B = { x / xÎA o xÎB};
la intersección se define como: C = A Ç B = { x / xÎA y xÎB};
el complemento se define como: Ac = { x Î W / x Ï A },
El conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío y se denota por Æ . (Notemos que A Ç Ac = Æ )
Diremos que A y B son disjuntos o mutuamente excluyente si: A Ç B = Æ.
Para resolver algunos problemas de probabilidades es necesario conocer el numero de elementos que posee cierto conjunto y el conjunto universal, denominado, en probabilidades, espacio muestral, es por ello que se debe saber como determinar el número de elementos de cualquier conjunto, tarea que puede ser algo complicado, sin embargo en algunos casos esto se puede realizar y por ello es que es importante el aprender a calcular este número.


COMENTARIO:
LA TEORIA DE CONTEO SE TRATA DE PROBLEMAS QUE ENTRETIENEN AL RELACIONAR DOS CONJUNTOS A LA HORA DE OPERARLOS EN UNA UNION O YA SEA EN UN INTERSECCION O DIFERENCIA EN LA CUAL PERMITE OBTENER DATOS QUE VAN RELACIONADOS CON LOS MISMOS.

COMBINACIONES

Combinaciones
Dado un conjunto de n elementos, se denomina combinaciones de tamaño r a todos los conjuntos que se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos, de modo que cada conjunto difiera de los demás en por lo menos un elemento.
Siguiendo con el mismo ejemplo, si en un grupo de 10 personas se elegirá a 5 para tomarles una foto, ¿cuántos grupos de 5 pueden formarse, si el orden no importa?
Si el orden importara, habría A105 disposiciones diferentes. Pero en este caso no interesa el orden, así que si una de las posibilidades es Juan, María, Luis, Ana y Pedro, entonces la permutación Luis, Pedro, María, Ana y Juan corresponde a la misma combinación. Cada grupo de 5 personas puede ordenarse de 5! formas diferentes. Así, cada combinación corresponde a 5! permutaciones. Por lo tanto, el número de combinaciones satisface P5.(nº de combinaciones) = A105o sea que el número de combinaciones es igual a 10
A5
---- = 252
P5
En general, dados n objetos distintos, el número de combinaciones de tamaño r de estos objetos, con 0 <= r <= n, se denota Cnr y corresponde a
n
n Ar n!
Cr = ---- = --------
Pr r!(n-r)!

Ejemplo
Dadas las letras a, b, c existen 3 combinaciones de tamaño 2. 3 3!
C2 = ---- = 3
2!1!
Las 3 combinaciones son:a ba cb ca

COMENTARIO:
LAS COMBINACIONES DE UN CONJUNTO ES TODO AQUELO QEU EN UN CONJUNTO DADO SE RELACIONA LOS ELEMTOS DE ELLO SACANDOLOS DE PAR EN PAR.

DIFERENCIA

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:






















COMENTARIO:
LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS ES TODO AQUELLA DIFERENCIACION QUE SE DA ENTRE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO DADO.

INTERSECCION DE CONJUNTOS.

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler

COMENTARIO:
BASICEMENTE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS FORMADOS POR ELEMENTOS QUE PERTENECEN A UN A Y AUN B SE DIFERENCIAN POR SER UNICOS ELEMENTOS EN UN CONJUNTO.